数据的统计处理和解释Г分布（皮尔逊Ⅲ型分布）的参数估计

数据的统计处理和解释Г分布（皮尔逊Ⅲ型分布）的参数估计

国家标准 GB/T8055一2009 代替GB/T8055一1987 数据的统计处理和解释 分布皮尔逊皿型分布)的参数估计 Statistiealinterpretationofdata一 Parameterestimationforgammadistribution Pearson爪distribution 2009-10-15发布 2009-12-01实施 国家质量监督检验检疫总局 发布 国家标准化管蹬委员会国家标准
GB/T8055一2009 前 言 “数据的统计处理和解释”包括以下国家标准 GB/T3359 数据的统计处理和解释统计容忍区间的确定 GB/T3361 数据的统计处理和解释在成对观测值情形下两个均值的比较 GB/T4087数据的统计处理和解释二项分布可靠度单侧置信下限 4088数据的统计处理和解释二项分布参数的估计与检验 4089数据的统计处理和解释泊松分布参数的估计和检验 4882 数据的统计处理和解释正态性检验 4883 数据的统计处理和解释正态样本离群值的判断和处理 4885 正态分布完全样本可靠度置信下限 4889数据的统计处理和解释正态分布均值和方差的估计与检验 4890 数据的统计处理和解释正态分布均值和方差检验的功效 数据的统计处理和解释r分布(皮尔逊川型分布)的参数估计 GB/T8055 8056数据的统计处理和解释 指数分布样本离群值的判断和处理 ！型极值分布样本离群值的判断和处理 GB/T6380 数据的统计处理和解释 GB/T10092数据的统计处理和解释测试结果的多重比较 (GB/T10094正态分布分位数与变异系数的置信限 本标准代替GB/T8055一1987《数据的统计处理和解释分布(皮尔逊川型分布)的参数估计》 本标准与GB/T80551987相比主要变化如下 按GB/T1.1-2000(标准化工作导则第1部分;标准的结构和编写规则》的要求对标准格式 进行了修订 在新修订的标准中删除了原标准中附录B程序与框图 在新修订的标准中删除了原标准中附录C三参数r分布不完全样本的点估计适线法) 在新修订的标准中删除了原标准中附录D应用实例 本标准的附录A为规范性附录 本标准由全国统计方法应用标准化技术委员会(SAC/Tc21)提出并归口 本标准起草单位:北京工业大学、标准化研究院,北京大学 本标准主要起草人:薛留根、丁文兴、于振凡、马月红、谢田法、房祥忠 本标准所代替标准的历次版本发布情况为 -GB/T8055一1987
GB/T8055一2009 引 言 0.1本标准适用于观测值服从分布的情况 在使用本标准之前,需要判断或检验观测值是否服从r 分布 传统的经验判断方法是直方图法;常用的统计检验方法是X拟合优度检验 这两种方法可以在 数理统计教科书中查到 0.2本标准规定了根据观测值估计分布参数的方法 对于二参数分布的点估计,采用的估计方 法有矩估计法和极大似然估计法 矩估计法是求参数点估计的常用方法之一 因该方法简便易行,且 估计量有很好的小样本和大样本性质,故使用普遍 极大似然估计法是求参数点估计的另一常用方法 它能充分利用分布的信息,估计更为精确 本标准中给出了极大似然估计的两种求解方法;近似公式法 和牛顿迭代法 对三参数r分布,本标雅采用适线法给出了其参数的点估计 0.3 为了得到参数的估计精度,人们往往还需要计算参数的置信区间 本标准给出了二参数r分布 中有关参数的置信区间
GB/T8055一2009 数据的统计处理和解释 r分布(皮尔逊皿型分布)的参数估计 范围 本标准规定了根据观测值估计分布参数的方法 本标准适用于r分布总体的参数估计;对测量、测试,调查得到的数据,若经理论分析、经验判断或 统计检验后,可合理地认为其来自r分布总体,才可按本标准确定r分布参数的点估计和区间估计 规范性引用文件 下列文件中的条款通过本标准的引用而成为本标准的条款 凡是注日期的引用文件,其随后所有 的修改单(不包括勘误的内容)或修订版均不适用于本标准,然而,鼓励根据本标准达成协议的各方研究 是否可使用这些文件的最新版本 凡是不注日期的引用文件,其最新版本适用于本标准 GB/T3358.1统计学词汇及符号第1部分:一般统计术语与用于概率的术语(GB/T3358.1 2009,ISO3534-1:2006,IDT) GB/T3358.2统计学词汇及符号第2部分:应用统计(GB/T3358.22009,IsO3534-2:2006, DT) GB/T4086.1统计分布数值表正态分布 GB/T4086. 2 统计分布数值表x分布 术语、定义和符号 3.1术语和定义 GB/T3358.1和GB/T3358.2确立的以及下列术语和定义适用于本标准 3.1.1 偏度系数cefieienlofskewness 总体的三阶中心矩与标准差的立方之比 c,=E[X一E(X)]'(VE一EX丁y 3.1.2 样本几何均值geometricmeanofsample n个观测值乘积的一次幕 = y 3.1.3 函数y-funetion 函数的导数与函数之比 2/r(m) 里(m)=r'(m)/r(m)(或 dn 3.1.4 置信区间confidenceinterval 参数0的区间估计(T,,T,其中作为区间限的统计量T,T,满足P[T<01一a 注1:置信度反映了在同一条件下长序列重复随机抽样中,置信区间包含参数真值的比例 置信区间并不能反映观
GB/T8055一2009 测到的区间包含参数真值的概率观测到的区间只能或是包含或是不包含) 注2:一个与置信区间相关的特性是100(1一a)%,其中 是一个小的数 这个特性称为置信系数或置信水平,通常 取为5%或99% 对任意确定但未知的总体0值,P[T<0T]>1一a 3.2符号 本标准所用符号见附录A r分布参数的点估计 二参数分布参数的点估计 4.1.1二参数I分布的密度函数 二参数I分布的密度函数是 b"Tm f(r;m,b) 0 其中形状参数m>0,尺度参数b>0. 4.1.2矩估计n>10 实施步骤: a)计算样本均值 .不=- 计算样本方差 b -r” (.Zi 计算m的矩估计 c m=.工2/s 计算b的矩估计 d b /厅 4.1.3极大似然估计(n>0) 求极大似然估计的常用方法有两种;近似公式法和牛顿迭代法,其中近似公式法给出的极大似然估 计计算误差可达10-';牛顿迭代法可给出更高的计算精度 实际工作中可根据需要选用其中之 4.1.3.1近似公式法 实施步骤 a)计算统计量 5 H=In- -lhn 其中 是样本儿何均值 b计算m的极大似然估计 当0GB/T8055一2009 计算统计量 a H=ln一ln (9 b 计算m的初值 10 m，=1/c2H 计算m的第一步近似值 lnmo (mo)一H mn 11 mo 1/n mo 类似地可以计算m,m., ，7 H nm一y(m二 12) m+1=m 1/m一重 (m 若|mt1一"|e时返回式(12)继续迭代; 计算b的极大似然估计 (14 =x/m 4.2三参数r分布参数的点估计 4.2.1三参数r分布的密度函数 三参数r分布的密度函数是 二4 -云 " '(m fr;m,b,a) 其中形状参数m>0,尺度参数b>0,a是位置参数 4.2.2三参数r分布中参数m、b,a与期望！、变异系数C，及偏度系数C,的关系 m、b,a与4,C及C，的关系如下: =mnb十a 15 Vm/(m十a/6 16 C 2/mn 4/C 18 m7 即 19 b=;CC,/2 (20 la=4(l一2C,/Cy 4.2.3适线法(n>20 实施步骤 样本从小到大排列成 a r.r(2》.r(m 计算卢 b 21) T(i=1,2,,y p n十 计算 c 22 工= 习 .r) 计算c 和c,的初始值C d 和C C =s/.r 23
GB/T8055一2009 .(24 C=2.Ca/(一r 查附录A的表A.l,由C,户查得对应的内(i=1,2, e ,n f 计算r( (25 r(户)=r(C内十1 计算目标函数值 .26 Q= r)一r(p)I h) 用模型搜索法逐步求出使Q达到最小的C 取,=云.,c.=c,c,=2xc:/c一m)将,.和c,代人式(I8)式(0)即可求得参数 i m,b,a的估计 二参数r分布参数的区间估计 对观测值.ri,rg,,r，和给定的置信水平1一a,本章给出二参数r分布参数m和b的双侧置信 区间 5.1参数m的置信区间(m>1) 实施步骤， a)计算统计量 27 H-lr一l" b) -1),记 我cB;T4n2中的x分布分位数县;查得石手("-1)相难(" A一xif("-l)E一难("一1) 计算m的置信下限 28 V/(Iy8/(12nH ml=(3g2十 d)计算m的置信上限 29 CA,/看干1干I丽y12a) mu 5.2参数b的置信区间 5.2.1朋已知,且2nm<250的情形 实施步骤: D查GB/T4086.2中的分布分位数表 若3wn为整数.则直接查i( 2nm和x(2mm) 否则,查 x-(2nm)=i4([2nm])+(2nm" [2nm])[X-f([2nm]十l)--!([2nm] x(2nm)=X手[2nm])十(2nmn [2um])”[X([2"]+1-x([2nm]门 注:2m表示2nm的整数部分 b)计算b的置信下限 30 b 2/xi(2um) 计算b的置信上限 31 2/x(2nm)y b 5.2.2m已知,且2nm>250的情形 实施步骤 a 查(GB/T4086.1中的正态分布分位数表,得u-手,u子 计算: 十2nm (32 Z VAnm×u
GB/T8055一2009 十2m 33 V4nm×u D)计算b的置信下限 34 2n/Z b= 计算b的置信上限 35 2nr/Z b 5.2.3"未知的情形 当m未知时,可先求得m的点估计值,再利用5.2.1或5.2.2求得b的区间估计
GB/T8055一2009 附 录A 规范性附录 密度函数图 A.1三参数r分布密度函数图(见图A. 1 若随机变量X的密度函数形如 Z -e b"rm f.r;m,b,a 其中m>0，b>0. <十o,则称X服从三参数分布也称皮尔逊型分布 一0 当a=0时,即为二参数r分布 当从=1时,即为指数分布 当朋=",h=2,n为整数时,即自由度为n的x(n)分布 m=2,b=4000,a=0 "2,h4000,2 m=l,=10000,o=0 朋-2,h=10000,a 图A.1三参数分布密度函数图 A.2符号 f(ry 分布的概率密度函数 r(m 函数 分布的位冒参数 r分布的尺度参数 分布的形状参数 m 总体期望 " a 总体方差 总体标准差 总体变异系数 总体偏度系数 样本量 随机变量的观测值 样本均值 样本几何均值 样本方差 样本标准差 H 样本的算术平均值与几何平均值之比的对数
GB/T8055一2009 重函数 m 重函数的导数 mn m 形状参数m的估计量 尺度参数b的估计量 位置参数a的估计量 总体均值的估计量 总体变异系数C 的估计量 C 总体偏度系数C，的估计量 置信水平 自由度为n的x分布的a分位数 xi(") 参数m的置信上限 m 参数m的置信下限 mL 参数万的置信上限 b 参数b的置信下限 A.3三参数r分布中值表(见表A.1)
GB/T8055一2009 怅 二 了 3 多 昌 三 三
GB/T8055一2009 嵌 三 三 急 了
GB/T8055一2009 嵌 m c e 2 二 二 台 台 鲁 三 三 二 三 色 三 盒 10