数据的统计处理和解释泊松分布参数的估计和检验

数据的统计处理和解释泊松分布参数的估计和检验

国家标准 GB/T4089一2008 代替GB/T4089- -1983,GB/T40901983 数据的统计处理和解释 泊松分布参数的估计和检验 Statistiealinterpretationofdata一 Estimationandypothesistestoparameterinpoissondistribution 2008-07-16发布 2009-01-01实施 国家质量监督检验检疫总局 发布 国家标准化管蹬委员会国家标准
GB/T4089一2008 目 次 前言 引言 范围 规范性引用文件 术语、定义和符号 3.1术语和定义 符号 参数估计 点估计 区间估计 泊松分布参数的检验 原假设与备择假设 双侧检验 H:入=入 H:入入 单侧检验H;入<入 H:入>入 5.4单侧检验H,;入>入 H:入入 附录A(规范性附录)显著性检验的两类错误 附录B(资料性附录》区间估计的贝叶斯估计方法 12 附录c资料性附录等效的检验方法 13
GB/T4089一2008 前 言 本标准是在GB/T40891983《数据的统计处理和解释泊松分布参数的估计》和G;B/T4090 1983《数据的统计处理和解释泊松分布参数的检验》的基础上整合而成,本标准代替GB/T4089- 1983和GB/T40901983 本标准与GB/T4089一1983和GB/T40901983相比较,技术内容的变 化主要包括 -增加了术语、符号和定义; 在附录C中增加了P值检验 本标准的附录A为规范性附录,附录B和附录C均为资料性附录 本标准由标准化研究院提出 本标准由全国统计方法应用标准化技术委员会归口 本标准起草单位;标准化研究院、广州市产品质量监督检验所、北京大学、无锡市产品质量监督 检验所、福州春伦茶业有限公司 本标准主要起草人:于振凡、丁文兴、邓穗兴,房祥忠,陈华英、陈玉忠、傅天龙 本标准所代替标准的历次版本发布情况为 -GB/T4089一1983; -GB/T40901983 业
GB/T4089一2008 引 言 从事科学研究、工农业制造以及管理工作都离不开数据,而对这些数据的整理、分析和解释都离不 开统计方法 统计学是研究数字资料的整理、分析和正确解释的一门学科 人们各自从不同的来源取 得各种数字资料,这些数字资料通常都是杂乱无章的,必须经过整理和简缩才能利用,使用完善的统计 方法就可使数据整理、排列的有条有理,用图形或少量的几个重要参数,就可把一大堆数据的特征表达 出来,这样既可避免不正确的解释,又可将获得满意数据的成本降到最低限度,提高了经济效益 国家标准《数据的统计处理和解释》包含以下各项 统计容忍区间的确定(GB/T3359) -均值的估计和置信区间(GB/T3360 在成对观测值情形下两个均值的比较(GB/T3361 二项分布参数的估计与检验(GB/T4088) 泊松分布参数的估计和检验(GB/T4089) 正态性检验(GB/T4882 -正态样本离群值的判断和处理(GB/T4883) -正态分布均值和方差的估计与检验(GB/T4889 -正态分布均值和方差检验的功效(GB/T4890 ！型极值分布样本离群值的判断和处理(GB/T6380) 伽玛分布(皮尔逊皿型分布)的参数估计(GB/T80557 指数分布样本离群值的判断和处理(GB/T8056) 《数据的统计处理和解释泊松分布参数的估计和检验》尚无相应的国际标准
GB/T4089一2008 数据的统计处理和解释 泊松分布参数的估计和检验 范围 本标准基于泊松分布总体,分布的概率质量函数为 .r=0,1,2 P(X=r/A》一 H 式中入>0为分布参数 本标准依据来自总体的独立随机样本i,r,,r,,规定了参数入的点估 计、区间估计和检验的方法 当有充分理由确信总体服从泊松分布时,可采用本标准 规范性引用文件 下列文件中的条款通过本标准的引用而成为本标准的条款 凡是注日期的引用文件,其随后所有 的修改单(不包括勘误的内容)或修订版均不适用于本标准,然而,鼓励根据本标准达成协议的各方研究 是否可使用这些文件的最新版本 凡是不注日期的引用文件,其最新版本适用于本标准 GB/T4086.1统计分布数值表正态分布 GB/T4086.2统计分布数值表x分布 ISO3534-1:2006统计学词汇及符号第1部分:一般统计术语与用于概率的术语 ISO3534-2:2006统计学词汇及符号第2部分;应用统计 术语定义和符号 IS03534-1;2006和IS3534-2:2006确定的以及下列术语、定义和符号适用于本标准 为便于参 考,某些术语、符号直接引自上述标准 3.1术语和定义 IsO3534-1;2006和IsO3534-2;2006确定的术语和定义适用于本标准 3.2符号 样本量 泊松分布的参数 n 区间估计中入的置信下限 入u 区间估计中入的置信上限 显著性水平 第 二类错误概率的指定值 <显著性检验>第一类错误概率,原假设为真时,拒绝原假设的概率 显著性检验>第二类错误概率,当原假设错误时,没有拒绝原假设的概率 n 一显著性检验>原假设 H 二显著性检验>备择假设 P(A)事件A的概率 ！ 的总和,T 样本观测值r1,re, ，",.Z' 区间估计>置信水平
GB/T4089一2008 参数估计 4.1点估计 入的估计量记为 ==了 4.2区间估计 .2.1置信区间的三种形式 4. 入的置信区间常用的有三种形式: a)双侧置信区间(A,A),这里0一入,一A之十o b)仅有置信下限入的单侧置信区间(AL.,十o),这里AL>0. u),这里 >0 仅有置信上限A的单侧置信区间(0,Au 选用何种类型的置信区间,应根据所研究问题的需要而定 入和入是观测值的两个函数,本标准采用的置信区间所满足的条件为;所求得的置信区间包含真 正的入值这个事件发生的频率约等于置信水平1- 具体地说 Qo 双侧区间应满足;P(i<入<入u 单侧置信区间应满足 P入入=1一a P\入1一a 双侧情形 或P入>入,>1一a (单侧下限 或 单侧上限 P入<入w}>l一a 4.2.2 置信限的求法 4.2.2.1 单侧置信下限 A一:(er 式中x(2)表示自由度为2T的分布的 分位数,其值可由X分位数表查得(见GB/T4086.2) 示例 =14,取1一a=0,95 某次试验中 "-l0.丁-习 ,28)=16.9279,得单侧置信下限 从x分位数表中查得x(2T)=e? 16.9279 =0.846 入 所以单侧置信区间为(0.846,+). 4.2.2.2单侧置信上限 加-X(2T+2" 式中,(2T十2)表示自由度为2T十2的X分布的1一a分位数 示例 》 二1.取1- =0.95 某次试验中，n=10,T一 从X分位数表中查得i-.(2T+2)=Xi(30)=43.7730,则单侧置信上限
GB/T4089一2008 43.7730 =2.189 AU一 20 所以单侧置信区间为(0,2.189). 4.2.2.3双侧置信区间的置信限 置信下限:入 ,(2T 品 置信上限:u- i.(cr十2) 式中xa(2T)表示自由度为2T的x=分布的a/2分位数 x-.(2T十2)表示自由度为2T十2的 ?分布的1一a/2分位数 示例 某次试验中，n=10，T =14,取1一a=0.95 从x分位数表中查得-x.(er)=x..(28)=15.3079 15.3079 =0,765 双侧置信区间的下限:入 20 从义分位数表中在得;x..(2T十)- 一x戏(30)-=46.9792 .9r02 双侧置信区间的上限:入u =2.349 20 所以双侧置信区间为(0.765,2.349) 置信区间的近似求法 当2T>30时,可使用下面给出的近似求法 4.2.3.1单侧置信下限的近似求法 单侧置信下限的近似计算公式为: VT干2=0.5- + 入= 6) % 4-十2 式中c= 41 ,为标准正态分布的1一a分位数 36 示例 =18,取1一a=0.95 在某次试验中,n=15,丁 .r 查正态分位数表见GB/T4086.1): =M=1.64485 i =0.13071 S " =0.82243 VT干2e-0.5=4.21443 一(c+(vT干=可了-" 入= 0.13071十4.21443一0.82243)'y 益 =0.776 置信水平为0.95的单侧置信区间为(0.776,十o) 4.2.3.2单侧置信上限的近似求法 单侧置信上限的近似公式为
GB/T4089一2008 -e十、T2O.5十 S 入= 式中c,u-,同4.2.3.1 示例 1一a=0.95 在某次试验中,n=15,T- -18,取 .r 查正态分位数表(见GB/下4086.1) =1.64485 tMo,95 计算: ,64485)' 土 L 土2=0.13071 丽 36 ，64485 1 0.82243 VT干2c干O,5=4.33145 c+(/T干双干可了+“ A= -0,13071十4.33145十0.82243)2 -" =1.78o 置信水平为0.95的单侧置信区间为(o.L.78o. 4.2.3.3双侧置信区间置信限的近似求法 置信下限的近似计算公式为 C+(,T干-万-“ 置信上限的近似计算公式为: " )? c+(、/下干2可了十 Ao - g十2 式中c= 为标准正态分布的1一a/2分位数 ，l1一a/2 36 示例 在某次试验中,n=15,T=r，=18,取1-a=0.95 查正态分位数表(见GB/T4086.1) 4=l.975=1.95996 95996土2 g土2 =0.16226 霸 36 =0.87998 4.22191 一0.5 T干20.5=4.33872 2)2 (c+(,T干公 -0.5 An -吉0.128+(4.2219一0.879988y =0,755
GB/T408g一2008 生)" '十l/T干干可了+" A -0.16226十(4.33872十0.87998) =l.826 置信水平为0.95的双侧置信区间为(0.755,l.826). 泊松分布参数的检验 原假设与备择假设 用H表示原假设,H表示备择假设 本标准处理常见的三种情况 检验分为以下三种情况 H:入=入a H:入千入0 双侧检验 H:A入 单侧检验 H:A>An， H;;<入 单侧检验 选用何种类型的检验,应根据所研究问题的需要而定 本标准正文所列出的是常用的经典的方法 本标准附录C也提供了等价的利用置信区间的方法和计算尸值的方法 5.2双侧检验HM:入=入H:A子入 5.2.1实施步骤 由入,样本量n及给定的显著性水平a,确定拒绝域的临界值 和c 和e的确定见5.2.2):; a b) ，的值 开算了-习 o当T<，或T>e,时,拒绝H;当cc,l从n= <号 k! 相应的第一类错误的概率和第二类错误的概率见附录A 和也可用x分布表法(见5.2.2.1)或正态近似法(见5.2.2.2)确定 对某些A."和a.G和(或)e,的值可能不存在 如当，比较小使得P(丁=0lna}=e-叫>" 时,则c，就不存在 此时可通过协商适当加大a值 5.2.2.1x分布表法 是满足下式的最大整数: G 2从，>..(2十2 .(10 式中x-a<(2十2)是自由度为2+2的x分布的1一a/2分位数 G 是满足下式的最小整数 11 2以 GB/T4089一2008 表1 放射粒子数 观测到的频数 大于4 15 总计 现利用这15次观测的结果,检验泊松分布的参数是否为入=0.6 检验的显著性水平取a=0.10 按照5.2.1,检验 步骤如表2 表 2 确定H 和H Hw:入=0,6，H:入夭0,6 由于=0，6 n=15和a=0，10，得2n=18 -=0.95 号=0.05,1- 查》分布分位数表得x,(s =15，597 X,(10)=18.307 a. 由A."和 确定 ，租e 所以2c,十2=8,G 又查分布分位数表得xi.,<28)=16.928 xi.(30)-18.493 所以2e,=30,c,=15 T=0×4十1×7十2×2十3×1十4×1=18 计算T 由于T=18>q=15所以不拒绝原假设H.入=0.6 判断 5.2.2.2正态近似法 当n，较大时,所确定的 ，和 也将比较大 当用x分布表法确定 和e有困难时,可用下述 正态近似法,实际使用时优先采用泊松分布法或x分布表法 c是满足下式的最大整数 u4 二42 (12 Ci十1< [平 12 式中:4 是标准正态分布的1一a/2分位数 是满足下式的最小整数: l ll1一a1 "/ 13 C2一 no十 单倒检验 5.3 H:入入 H1:入>入 5.3.1实施步骤 由入,样本量n及给定的显著性水平a,确定拒绝域的临界值e,(ce 的确定见5.3.2) b) 计算T 习 的值 = 当T>c 时,拒绝H,;当TGB/T408g一2008 5.3.2拒绝域临界值，的确定 可由入,n及a确定 它是满足下式的最小整数: c nn" e川 P(T>c| 习 a 相应的第一类错误的概率 '和第二类错误的概率/'见附录A 可由x分布表法或正态近似法 确定,优先采用x分布表法,当有困难时,可采用正态近似法 5.3.2.1x分布表法 是满足下式的最小整数 C l4 2M，入H:入<入 5.4 实施步骤 5. .4.1 由入样本量"及给定的显著性水平 .确定拒绝域的临界值e,(G，的确定见苏.4.2). b 计算丁-习，的值 o当r<,时,拒绝H;当丁>时,不拒绝H 5.4.2拒绝域临界值e的确定 c由A、n和a确定,它是满足下式的最大整数 从w'" e成 习 P(丁<,ln以 一 a k！ 相应的第一类错误的概率和第二类错误的概率见附录A c可由x分布表法或正态近似法确定 优先采用x分布表法 5.4.2.1x分布表法 G是满足下式的最大整数: (16 2风 >(2十2) 式中x-.(2,十2)是自由度为2e,十2的x分布的1一a分位数 5.4.2.2正态近似法 G是满足下式的最大整数: 17 1=[a一-一 式中u-,是标准正态分布的1一a分位数 优先采用x分布表法,当利用x分布表法有困难时,可使用正态近似法
GB/T4089一2008 附 录 4 规范性附录 显著性检验的两类错误 A.1第一类错误 第一类错误的概率是指当原假设为真时,错误拒绝原假设的概率 它可表示为拒绝域的临界值的 函数 记作a 原假设H:入=入n，备择假设H:入大入情形 =P(Tc「以 -P(丁a =P(T>cl从=1一P(T<,一1从w 原假设H:;>A,,备择假设H:入<入情形 =P(T入情形;8 原假设H;A>A，情形,备择假设H;<入，情形;8'=P(T>c|na)=1一P(TGB/T4089一2008 a)实际的第一类错误的概率a'是多少?" b)对特定的备择假设入=A=1.0,第二类错误的概率'是多大? c 对确定的=0.1,对应的入值是多少? =15， 本例n,=9. ),c=3,e;=15,根据表A.1可计算a',?' ,n入 A.4.1用泊松分布函数表 -习岸"十-习片 =0.0212十1一0.9585=0.0627 15 5" -e-一 8 e”=0.4657一0.0002=0.4655 - 是" ！ A.4.2利用x分布函数表 Px(2c十2)>2n,十1一Px2e,>2n从o Px(8)>18}十1一Px(30)>18 =0.0212十1一0.9586 =0.627 =Px2e.>2n以}一P{2(2e十2)>2n从" =尸(x(30)>30)一P(x(6)>30y =0.4657一0.0002 =0.4655 A.4.3用正态近似 因=3,不宜用正态近似;而c,=15此值较大,可用正态近似,故取 P(T2似 》十1一中 P'x(8)>18)十1-p(1.72) 0.0212十1一0.9573 0.0639 3 12 3c，十 G 8 Px(2c2)>2mn 30 p(-0.09)一Px(8)> =0.4641一0.0002 =0.4639 对给定的=0.l,求对应的特定备择假设入的值,根据表A.2进行 对双侧检验,对应8=0.1有 两个值A'(>A),A"<入 40.256 30 1.342 ;,(2)=品x 30 3.490 立a,十刀-点x,o =0.116 入 30
GB/T4089一2008 1 s 欢 - 事 三 O 正 闪 又 " AA 大 早 荣 3 尊 10
GB/T4089?2008 ? 5 1l
GB/T4089一2008 B 附 录 资料性附录 区间估计的贝叶斯估计方法 B.1在有关各方协商一致和主管部门同意的情况,可采用贝叶斯估计方法 B.2使用条件 已知入的先验分布是参数为d,b的r分布,其分布密度为 一r"e" 当r>0 T(a (.r 当.x0 且已知入的均值从与方差的经验值 例如有大批以往的可靠的入的数值记载,根据这些历史资 料可算得经验的均值！与经验的方差ai 入的估计方法 B.3 先由从与计算数值a.b “ b B.2) 入的估计为: T土4 = B.3 n十6 式中: -样本量 T -样本观测值xi,rg,,r,的总和,即T= 12
GB/T4089一2008 c 附 录 资料性附录 等效的检验方法 对泊松分布参数入进行检验,可采用的等效的利用置信区间的方法和计算P值的方法 利用置信区间的方法 计算丁-习 值 由丁值求出泊松分布参数入的置信水平为1一a的置信区间 在H,;入=入情形,求双侧置信区间(AL,n),这里00; 在H;入>入情形.求单侧置信区间(0.入n),这里入;>0 当入，的值在置信区间内时,不拒绝H,;当入，的值不在置信区间内时,拒绝H C.2计算P值的方法 c.2.1双侧检验H:入=入 H:入入 计算丁=习,当T> 时计算 n0" ， -e一从o P= C.1 一 ！ 当Ta/2时，不拒绝H C.2.2单侧检验H:入<入，H:入>入 -e从o .( C.3) "-耳出" 当值Pa时，不拒绝H C.2.3单侧检验IH;入>入oH:入a时，不拒绝H